已知x1是方程xlgx=2009的根，x2是方程x•10x=2009的根，则x1•x2=A．2006B．2007C．2008D．2009

题文

已知x₁是方程xlgx=2009的根，x₂是方程x•10^x=2009的根，则x₁•x₂=（ ）A．2006B．2007C．2008D．2009 题型：未知 难度：其他题型

答案

已知x₁是方程xlgx=2009的根，x₂是方程x•10^x=2009的根，则x₁是函数y=2009x 和y=lgx交点M的横坐标，
x₂ 是函数y=2009x和y=10^x的图象的交点N的横坐标．
由于 函数y=10^x和y=lgx互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，故M、N两个点关于直线y=x对称，
即线段MN的中点G在直线y=x上．
由于M（x₁，2009x1），N（x₂，2009x2），G（x1+x22，2009x1+2009x22），
∴x1+x22=2009x1+2009x22，∴x₁•x₂=2009，
故选D．

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解析

2009x

考点

据考高分专家说，试题“已知x1是方程xlgx=2009的根，x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点