已知函数f=ax3+bx2-3x，且f在x=1和x=3处取得极值．求函数f的解析式；设函数g=f+t，是

题文

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+t，是否存在实数t，使得曲线y=g（x）与x轴有两个交点，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx-3，
因为f（x）在x=1和x=3处取得极值，
所以x=1和x=3是f′（x）=0的两个根，…（2分）
∴1+3=-2b3a1×3=-33a即a=-13b=2，∴f(x)=-13x3+2x2-3x…（5分）
（Ⅱ）g′（x）=-x²+4x-3，令g′（x）=0，∴x=3或x=1．…（7分）
当x变化时，g′（x），g（x）变化情况如下表：
x（-∞，1）1（1，3）3（3，+∞）g′（x）-0+0-g（x）极小值极大值由上表可知：g（x）_极大值=g（3）=t；g(x)极小值=g(1)=t-43 …（9分）
∵g(x)=-13x3+2x2-3x+t=-13x(x-3)2+t，∴由此可知x取足够大的正数时，有g（x）＜0；x取足够小的负数时，有g（x）＞0，…（10分）
因此，为使曲线y=g（x）与x轴有两个交点，结合g（x）的单调性，
必有：g（x）_极大值=g（3）=t=0，或g(x)极小值=g(1)=t-43=0 ，∴t=0或t=43
所以存在t且t=0，或t=43…（12分）

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解析

1+3=-2b3a1×3=-33a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点