若函数f=x4+ax3+bx2+cx+d．当a=d=-1，b=c=0时，若函数f的图象与x轴所有交点的横坐标的和与积分别为m，n．求证：

题文

若函数f（x）=x⁴+ax³+bx²+cx+d．
（1）当a=d=-1，b=c=0时，若函数f（x）的图象与x轴所有交点的横坐标的和与积分别为m，n．
（i）求证：f（x）的图象与x轴恰有两个交点；
（ii）求证：m²=n-n³．
（2）当a=c，d=1时，设函数f（x）有零点，求a²+b²的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本题满分16分）
（1）（i）当a=d=-1，b=c=0时，f（x）=x⁴-x³-1
∴f'（x）=4x³-3x²=x²（4x-3），
所以x=34是使f（x）取到最小值的唯一的值，且在区间(-∞，34)上，函数f（x）单调递减；
在区间(34，+∞)上，函数f（x）单调递增．
因为f(34)＜0，f（-1）＞0，f（2）＞0，
所以f（x）的图象与x轴恰有两个交点． …（4分）
（ii）设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个实根，则f（x）有因式（x-x₁）（x-x₂）=x²-mx+n，
且可令f（x）=（x²-mx+n）（x²+px+q）．
于是有（x²-mx+n）（x²+px+q）=x⁴-x³-1．（*）
分别比较（*）式中常数项和含x³的项的系数，得nq=-1，p-m=-1，
解得q=-1n，p=m-1．
所以x⁴-x³-1=(x2-mx+n)[x2+(m-1)x-1n]．①
分别比较①式中含x和x²的项的系数，得mn+n(m-1)=0，…②，
-1n+n-m(m-1)=0，③
②×m+③×n得-n+n³+m²=0，即n-n³=m²．…（10分）
∴m²=n-n³．
（2）方程化为：x2+ax+b+ax+1x2=0，
令t=x+1x，方程为t²+at+b-2=0，|t|≥2，即有绝对值不小于2的实根．
设g（t）=t²+at+b-2=0（|t|≥2），
当-a2＜-2，即a＞4时，只需△=a²-4b+8≥0，此时，a²+b²≥16；
当-a2＞2，即a＜-4时，只需△=a²-4b+8≥0，此时，a²+b²≥16；
当-2≤-a2≤2，即-4≤a≤4时，只需（-2）²-2a+b-2≤0或2²+2a+b-2≤0，
即-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0，此时a2+b2≥45．
∴a²+b²的最小值为45．…（16分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“若函数f（x）=x4+ax3+bx2+c.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点