已知方程mx4-x2+3m=0有1个根小于-2，其余3个根都大于-1，则实数m的取值范围是______．

题文

已知方程mx⁴-（m-3）x²+3m=0有1个根小于-2，其余3个根都大于-1，则实数m的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意知m≠0，设函数f（x）=mx⁴-（m-3）x²+3m，为偶函数．
因为方程有1个根小于-2，其余3个根都大于-1，所以方程一个根小于-2，对应的另一个根大于2，两外两个根一个在（-1，0）之间，一个在（0，1）之间．
设t=x²，则对应函数为g（t）=mt²-（m-3）t+3m，对应方程的两个根t大于4，两外一个根t∈（0，1）．
若m＞0，则g(0)＞0g(1)＜0g(4)＞0，即3m＞0m-(m-3)+3m＜016m-4(m-3)+3m＞0，所以m＞0m＜-1m＞-45，此时不等式组无解．
若m＜0，则g(0)＜0g(1)＞0g(4)＞0，即3m＞0m-(m-3)+3m＞016m-4(m-3)+3m＞0，所以m＞0m＞-1m＞-45，此时解得-45＜m＜0．
故答案为：-45＜m＜0．

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解析

g(0)＞0g(1)＜0g(4)＞0

考点

据考高分专家说，试题“已知方程mx4-（m-3）x2+3m=0.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点