已知函数f=3x2-2x+5，g=2k2x+k，其中k∈R．设函数p=f+g．若p在上有零点

题文

已知函数f（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5，g（x）=2k²x+k，其中k∈R．
（1）设函数p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在（0，3）上有零点，求k的取值范围；
（2）设函数q（x）=g(x)，x≥0f(x)，x＜0是否存在k，对任意给定的非零实数x₁，存在惟一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5，g（x）=2k²x+k，
p（x）在（0，3）上有零点，
∴p（x）=f（x）+g（x）=3x²+2（k-1）x+k+5在（0，3）上有零点．
∴△=（4k²-8k+4）-12k-60≥0，解得 k≤-2，或 k≥7．
若p（x）在（0，3）上有唯一零点，则 p（0）p（3）=（k+5）（7k+26）＜0 ①，
或△＞0P(0)=0P(3)＞0 ②，或△＞0P(0)＞0P(3)=0③，或P(0)＞0P(3)＞0△=0 ④．
解①得-267＜k＜-5，解②得k∈∅，解③得k=-267，解④可得 k=-2，或k=7．
若p（x）在（1，4）上有2个零点，则有△＞0p(0)＞0P(3)＞00＜1-k3＜3，解得-267＜k≤-2．
综上所述，实数k的取值范围为[-267，-2]．
（2）函数q（x）=g(x)，x≥0f(x)，x＜0，
即q（x）=2k2x+k，x≥03x2-2(k2-k+1)x+5，x＜0．
显然，k=0不满足条件，故k≠0．
当x≥0时，q（x）=2k²x+k∈[k，+∞）．
当x＜0时，q（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5∈（5，+∞）．
记A=[k，+∞），B∈（15，+∞）．
①当x₂＞0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，
要使q（x₂）=q（x₁），则x₁＜0，且A⊆B，故k≥5；
②当x₂＜0时，q（x）在（-∞，0）上是减函数，
要使q（x₂）=q（x₁），则x₁＞0，且B⊆A，故k≤5；
综上可得，k=5满足条件．
故存在k=5，对任意给定的非零实数x₁，存在惟一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）．

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解析

△＞0P(0)=0P(3)＞0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=3x2-2（k2-k+.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点