题文
设函数f（x）=（x+a）lnx-x+a．（Ⅰ）设g（x）=f'（x），求g（x）函数的单调区间；
（Ⅱ）若a≥1e，试研究函数f（x）=（x+a）lnx-x+a的零点个数． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）g（x）的定义域是（0，+∞）∵g（x）=f'（x）=ax+lnx，∴g'（x）=-ax2+1x=x-ax2，…（2分）
（1）当a≤0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
故g（x）单调区间是（0，+∞）…（4分）
（2）当a＞0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（a，+∞）上单调递增，
再由g'（x）＜0得g（x）在（0，a）上单调递减．
g（x）的单调区间是（0，a）与（a，+∞）…（7分）
（Ⅱ）由题（Ⅰ）知，g（x）在x=a时取到最小值，且为g（a）=aa+lna=1+lna．…（9分）
∵a≥1e，∴lna≥-1，∴g（a）≥0．
∴f'（x）≥g（a）≥0．f（x）在（0，+∞）上单调递增，…（11分）
∵f（e）=（e+a）lne-e+a=2a＞0，f(1e)=(1e+a)ln1e-1e+a=-2e＜0，，
∴f(x)在(1e，e)内有零点．…（13分）
故函数f（x）=（x+a）lnx-x+a的零点个数为1．…（14分）
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解析
ax考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）=（x+a）lnx-x+a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
