题文
函数f（x）=ax3-6ax2+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与y=13f′(x)+5x+m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）是否存在点P，使得过点P的直线若能与曲线y=f（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）由题意得f'（x）=3ax2-12ax+3b，f'（2）=-3，∵图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0．
∴x=2时，y=5，即f（2）=5，
∴12a-24a+3b=-38a-24a+6b+b=5即4a-b=1-16a+7b=5
解得a=1，b=3，
∴f（x）=x3-6x2+9x+3．（4分）
（Ⅱ）由f（x）=x3-6x2+9x+3，可得f'（x）=3x2-12x+9，
∴13f′(x)+5x+m=13(3x2-12x+9)+5x+m=x2+x+3+m，
则由题意可得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根，
即g（x）=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点，g'（x）=3x2-14x+8=（3x-2）（x-4），
则g（x），g'（x）的变化情况如下表．
x(-∞，23)23(23，4)4（4，+∞）g'（x）+0-0+g（x）↗极大值↘极小值↗则函数f（x）的极大值为g(23)=6827-m，极小值为g（4）=-16-m．（6分）
y=f（x）的图象与y=13f′(x)+5x+m的图象有三个不同交点，则有：g(23)=6827-m＞0g(4)=-16-m＜0
解得-16＜m＜6827．（8分）
（Ⅲ）存在点P满足条件．（9分）
∵f（x）=x3-6x2+9x+3，
∴f'（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3），
由f'（x）=0，得x1=1，x2=3．
当x＜1时，f'（x）＞0；当1＜x＜3时，f'（x）＜0；当x＞3时，f'（x）＞0．
可知极值点为A（1，7），B（3，3），线段AB中点P（2，5）在曲线y=f（x）上，且该曲线关于点P（2，5）成中心对称．
证明如下：
∵f（x）=x3-6x2+9x+3，
∴f（4-x）=（4-x）3-6（4-x）2+9（4-x）+3=-x3+6x2-9x+7，
∴f（x）+f（4-x）=10．
上式表明，若点A（x，y）为曲线y=f（x）上任一点，其关于P（2，5）的对称点A（4-x，10-y）也在曲线y=f（x）上，曲线y=f（x）关于点P（2，5）对称．
故存在点P（2，5），使得过该点的直线若能与曲线y=f（x）围成两个封闭图形，这两个封闭图形的面积相等．…（12分）
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解析
12a-24a+3b=-38a-24a+6b+b=5考点
据考高分专家说，试题“函数f（x）=ax3-6ax2+3bx+.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
