若关于x的方程mx2+x+1=0在上有解，则实数m的取值范围是A．C．D．（-∞，1]

题文

若关于x的方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）上有解，则实数m的取值范围是（ ）A．（0，1]B．[0，1）C．（-∞，1）D．（-∞，1] 题型：未知 难度：其他题型

答案

若m=0，则关于x的方程mx²+（m-3）x+1=0，即-3x+1=0，在（0，+∞）上有解x=13，符合题意．
若m≠0时，关于x的方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）上有解，就是说不能二根同为负．
如果二根同时为负，设方程的两根为x₁，x₂，则有：
x₁+x₂=3-mm＜0，且x₁x₂=1m＞0，
解得：m＞3，
所以至少有一正根时有：m≤3，
又判别式：（m-3）²-4m≥0，
即m²-10m+9≥0
即（m-9）（m-1）≥0
∴m≥9或者m≤1．
综上所述，若关于x的方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）上有解，则实数m的取值范围是m≤1．
故选D．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“若关于x的方程mx2+（m-3）x+1=.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点