求一切实数p，使得三次方程5x3-5x2+x+1=66p的三个根均为正整数．

题文

求一切实数p，使得三次方程5x³-5（p+1）x²+（71p-1）x+1=66p的三个根均为正整数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

x=1是方程的一个根．于是只要考虑二次方程5x²-5px+66p-1=0的两个根为正整数即可．
设此二正整数根为u、v．则由韦达定理知，
u+v=p①uv=15(66p-1)②
消去p，得5uv-66（u+v）=-1．同乘以5：5²uv-5×66u-5×66v=-5．
∴（5u-66）（5v-66）=66²-5=4351=19×229．由于u、v均为整数，故5u-66、5v-66为整数．
∴5u-66=15v-66=4351
或5u-66=-15v-66=-4351
或5u-66=195v-66=229
或5u-66=-195v-66=-229
∴其中使u、v为正整数的，只有u=17，v=59这一组值．此时p=76．

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解析

u+v=p①uv=15(66p-1)②

考点

据考高分专家说，试题“求一切实数p，使得三次方程5x3-5（p.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点