已知函数f(x)=2x-1，(x≤0)f(x-1)+1，(x＞0)，把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为Sn

题文

已知函数f(x)=2x-1，(x≤0)f(x-1)+1，(x＞0)，把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S_n，则S₁₀=（ ）A．210 -1B．2⁹-1C．45D．55 题型：未知 难度：其他题型

答案

当0＜x≤1时，有-1＜x-1＜0，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-1，
当1＜x≤2时，有0＜x-1≤1，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-2+1，
当2＜x≤3时，有1＜x-1≤2，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-3+2，
当3＜x≤4时，有2＜x-1≤3，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-4+3，
以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-n-1+n，
所以，函数f（x）=2^x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），
由于指数函数f（x）=2^x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．
然后：
①将函数f（x）=2^x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2^x-1和y=x的图象，
取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．
即当x≤0时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=0．
②取①中函数f（x）=2^x-1和y=x图象-1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，
即得f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．
即当0＜x≤1时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=1．
③取②中函数f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，
即得到f（x）=2^x-2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．
即当1＜x≤2时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=2．
④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…
（n+1，n+1）．
即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．
综上所述方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：
0，1，2，3，4，…，
其通项公式为：a_n=n-1，前n项的和为 S_n=(n-1)•n2，
∴S₁₀=45，
故选C．

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解析

(n-1)•n2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2x-1，(x≤0)f.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点