已知函数和函数f=ax3-x2+1当a＞0时，求函数f的单调递减区间；若方程f=0有三个不同的解，求实数a的取值范围．

题文

已知函数和函数f（x）=ax³-x²+1（a为常数）
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若方程f（x）=0有三个不同的解，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）=ax³-x²+1的导数为：
f′（x）=3ax²-2x=x（3ax-2）
f′（x）=0⇒x₁=0，x₂=23a＞0  （a＞0）
不等式f′（x）＜0的解集是（0，23a），
∴当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间是（0，23a）
（2）当a＞0时，由（1）可得函数f（x）=ax³-x²+1在（-∞，0）和（23a，+∞）上为增函数，
在（0，23a）上为减函数，而方程f（x）=0有三个不同的解
∴f（0）＞0且f(23a) ＜0，解之得a∈(0，239)
同理，得到当a＜0时，使方程f（x）=0有三个不同的解的a∈(-239，0)
综上所述，得到符合题意的a的取值范围是：a∈(-239，0)∪(0，239)

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解析

23a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数和函数f（x）=ax3-x2+1.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点