已知函数f=ex，x∈R．求f的反函数的图象上的点处的切线方程；证明：曲线y=f与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点．

题文

已知函数f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ） 求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ） 证明：曲线y=f（x）与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点．
（Ⅲ） 设a＜b，比较f（a+b2）与f(b)-f(a)b-a的大小，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）函数f（x）=e^x的反函数为g（x）=lnx，
∵g′(x)=1x，∴g^′（1）=1，
∴f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程为y-0=1×（x-1），即y=x-1；
（Ⅱ）证明：令h（x）=f（x）-(12x2+x+1)=ex-12x2-x-1，
则h^′（x）=e^x-x-1，
h^′′（x）=e^x-1，
当x＞0时，h^′′（x）＞0，h^′（x）单调递增；当x＜0时，h^′′（x）＜0，h^′（x）单调递减，
故h^′（x）在x=0取得极小值，即最小值，
∴h^′（x）≥h^′（0）=0，
∴函数y=h（x）在R上单调递增，最多有一个零点，
而x=0时，满足h（0）=0，是h（x）的一个零点．
所以曲线y=f（x） 与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点（0，1）．
（Ⅲ） f(a)+f(b)2-f(b)-f(a)b-a=(b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b)2(b-a)
=(b-a+2)ea+(b-a-2)eb2(b-a)
=(b-a+2)+(b-a-2)eb-a2(b-a)ea，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），则g^′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g^′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g^′（0）=0，
∴g^′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）g（x）＞0．
∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，
∴(b-a+2)+(b-a-2)eb-a2(b-a)ea＞0，
即当a＜b时，f(a+b2)＞f(b)-f(a)b-a．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ex，x∈R．（Ⅰ）求.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点