设函数f(x)=13x3+12(m-1)x2+x+2求函数f的单调区间；若函数f在区间内有2个极值点，求实数m的取值范围．

题文

设函数f(x)=13x3+12(m-1)x2+x+2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）内有2个极值点，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f'（x）=x²+（m+1）x+1，…（2分）
①当△≤0，即（m-1）²-4≤0，-1≤m≤3时，
函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；…（4分）
②当△＞0，即m＜-1或m＞3时，
令f'（x）=0，解得x=1-m±m2-2m-32，…（6分）
所以，函数f（x）在(-∞，1-m-m2-2m-32)内单调递增；
在(1-m-m2-2m-32，1-m+m2-2m-32)内单调递减；
在(1-m+m2-2m-32，+∞)内单调递增．…（8分）
（Ⅱ）若f'（x）=0在区间（0，2）内有两个不等实根，
得△＞00＜1-m2＜2f(2)＞0f(1)＞0.，解得-32＜m＜-1．…（13分）

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解析

1-m±m2-2m-32

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=13x3+12(m-1).....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点