题文
已知函数f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx．（I ）若函数y=f（x）在处取得极值，求满足条件的a的值；
（II）当a＞ -12时，f（x）在（1，2）上单调递减，求a的取值范围；
（III）是否存在正实数a，使得函数y=f（x）在(1e，e)内有且只有两个零点？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）f′(x)=2ax+1-2a-1x=(2ax+1)(x-1)x有已知得f′(2)=0即(4a+1)(2-1)2=0
∴a=-14经检验a=-14符合题意
（II）f（x）的定义域为（0，+∞）
当a≥0时，由1＜x＜2知f′（x）＞0∴f（x）在（1，2）递增，不符合题意
当-12＜a＜0时，∵-12＜a＜0∴-12a＞1又∵x＞令f′(x)＜0得1＜x＜-12a
∵f（x）在（1，2）上递减∴-12a≥2∴-14≤a＜0
总之a∈[-14，0)
（III）令f′（x）=0
∵a＞0解得x=1或x=-12a(舍)
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
要使y=f（x）在（1e，e）内有且仅有两个零点，只需f(1e)＞0f(x)min＜0f(e)＞0即
a(1e)2+(1-2a)1e-ln1e＞0a+1-2a-ln1＜0ae2+(1-2a)e-lne＞0∴a＜e+e22e-1a＞1a＞1-ee2-2e∵e+e22e-1-1=e(e-1)+12e-1＞0∴e+e22e-1＞1
∵1-ee2-2e＜0
∴1＜a＜e+e22e-1
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解析
1x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+（1-2a）x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
