已知函数f=x3-3ax2-3a2+a．求函数f的单调区间；若曲线y=f上有两点A）、B）处

题文

已知函数f（x）=x³-3ax²-3a²+a（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）上有两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，且函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a）．令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=2a
列表如下：
x（-∞，0）0（0，2a）2a（2a，+∞）f′（x）+0-0+f（x）递增-3a²+a递减-4a³-3a²+a递增由上表可知，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2a，+∞）；单调递减区间为（0，2a）．
（2）由（1）可知，m=0，n=2a且在x=0，x=2a处分别取得极值．
f（0）=-3a²+a，f（2a）=-4a³-3a²+a．由已知得函数y=f（x）在区间[0，2a]上存在零点，
∴f（0）×f（2a）≤0即（-3a²+a）（-4a³-3a²+a）≤0
∴a²（3a-1）（4a-1）（a+1）≤0
∵a＞0
∴（3a-1）（4a-1）≤0，解得14≤a≤13故实数a的取值范围是[14，13]．

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解析

x（-∞，0）0（0，2a）2a（2a，+∞）f′（x）+0-0+f（x）递增-3a²+a递减-4a³-3a²+a递增

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3-3ax2-3a2.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点