已知函数f(x)=ax+bx-1-a(a∈R，a≠0)在x=3处的切线方程为x-2y+3=0若g=f，求证：曲线g上的任

题文

已知函数f(x)=ax+bx-1-a(a∈R，a≠0)在x=3处的切线方程为（2a-1）x-2y+3=0
（1）若g（x）=f（x+1），求证：曲线g（x）上的任意一点处的切线与直线x=0和直线y=ax围成的三角形面积为定值；
（2）若f（3）=3，是否存在实数m，k，使得f（x）+f（m-x）=k对于定义域内的任意x都成立； 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为f′(x)=a-b(x-1)2，所以f′(3)=a-b4=2a-12，b=2（2分）
又g(x)=f(x+1)=ax+2x.
设g（x）图象上任意一点P（x₀，y₀），因为g′(x)=a-2x2，
所以切线方程为y-(ax0+2x0)=(a-2x20)(x-x0).（4分）
令x=0，得y=4x0；再令y=ax，得x=2x₀，
故三角形面积S=12•|4x0|•|2x0|=4，即三角形面积为定值．（6分）
（2）由f（3）=3得a=1，f(x)=x+2x-1-1
假设存在m，k满足题意，则有x-1+2x-1+m-x-1+2m-x-1=k，
化简，得2(m-2)(x-1)(m-x-1)=k+2-m对定义域内任意x都成立，（8分）
故只有m-2=0k+2-m=0.解得m=2k=0.
所以存在实数m=2，k=0，使得f（x）+f（m-x）=k对定义域内的任意x都成立．（12分）．

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解析

b(x-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ax+bx-1-a(a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点