判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．f=-8x2+7x+1；f=x2+x+2；f=x2+4x-12x-2；f（

题文

判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
（1）f（x）=-8x²+7x+1；
（2）f（x）=x²+x+2；
（3）f（x）=x2+4x-12x-2；
（4）f（9x）=3^x+1-7；
（5）f（x）=log₅（2x-3）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为f（x）=-8x²+7x+1=-（8x+1）（x-1），令f（x）=0，解得x=-18或x=1，所以函数的零点为-18和1．
（2）令x²+x+2=0，因为△=（-1）²-4×1×2=-7＜0，所以方程无实数根，所以f（x）=x²+x+2不存在零点．
（3）因为f（x）=x2+4x-12x-2=(x+6)(x-2)x-2，令(x+6)(x-2)x-2=0，解得x=-6，所以函数的零点为-6．
（4）设t=9x，则x=t9，所以f(t)=3t9+1-7，即 f(x)=3x9+1-7，令f(x)=3x9+1-7=0，解得x=9log⁡373，所以函数的零点为9log₃73．
（5）令log₅（2x-3）=0，解得x=2，所以函数的零点为2．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点