已知函数f=a2x+ax-6，其中a＞0且a≠1．当a=2时，求函数f的零点；若x∈[1，2]时，函数f的最大值为6，求a的值．

题文

已知函数f（x）=a^2x+a^x-6，其中a＞0且a≠1．
（1）当a=2时，求函数f（x）的零点；
（2）若x∈[1，2]时，函数f（x）的最大值为6，求a的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=2时，f（x）=2^2x+2^x-6…1分
由f（x）=0得2^2x+2^x-6=0，即（2^x-2）（2^x+3）=0…2分
∴2^x=2或2^x=-3（舍去）                           …4分
∴x=1…5分
∴函数f（x）的零点是1…6分
（2）令a^x=t，则g（t）=t²+t-6
①当0＜a＜1时
∵函数t=a^x在R上是减函数，且1≤x≤2，∴a²≤t≤a…7分
∵g（t）=t²+t-6在[-12，+∞)上单调递增
∴f（x）_max=g（t）_max=g（a）=6
∴a²+a-6=6，即a²+a-12=0…8分
解得a=3（舍去）或a=-4（舍去）                     …9分
②当a＞1时
∵函数t=a^x在R上是增函数，且1≤x≤2，∴a≤t≤a²…10分
∵g（t）=t²+t-6在[-12，+∞)上单调递增
∴f(x)max=g(t)max=g(a2)=6
∴（a²）²+a²-6=6，即（a²）²+a²-12=0…11分
解得a²=3或a²=-4（舍去）                       …12分
∴a=3…13分
综合①②可知，a=3．                           …14分．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=a2x+ax-6，其中.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点