已知函数f(x)=(a-3b+9)ln(x+3)+12x2+(b-3)x．当0＜a＜1且，f′=0时，求f的单调区间；已知f′(3)≤

题文

已知函数f(x)=(a-3b+9)ln(x+3)+12x2+(b-3)x．
（I）当0＜a＜1且，f′（1）=0时，求f（x）的单调区间；
（II）已知f′(3)≤16且对|x|≥2的实数x都有f'（x）≥0．若函数y=f′（x）有零点，求函数y=f（x）与函数y=f′（x）的图象在x∈（-3，2）内的交点坐标． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）函数的定义域为（-3，+∞），…1′
f′（x）=x2+bx+ax+3（x＞-3），由f′（1）=0⇒b=-a-1，
故f′（x）=(x-1)(x-a)x+3…3′
∵0＜a＜1，
∴由f′（x）＞0得-3＜x＜a或x＞1，
∴f（x）的单调递增区间为（-3，a），（1，+∞），
同理由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（a，1），…5′
（Ⅱ）由（Ⅰ）及f′（3）≤16⇒a≤-3b-8①
又由|x|≥2且x＞-3，有f′（x）≥0，
∴y=f′（x）的零点在[-2，2]内，设g（x）=x²+bx+a，
则g(2)≥0g(-2)≥0-2≤-b2≤2b2-4a≥0⇒a≥-4-2ba≥2b-4-4≤b≤4b2≥4a，结合①解得b=-4，a=4，
∴f（x）=25ln（x+3）+12x²-7x…9′
又设φ（x）=f（x）-f′（x），
∵φ′（x）=(x-2)2x+3+25(x+3)2-1，由-3＜x＜2得0＜（x+3）²＜25，
故φ′（x）＞0，φ（x）在（-3，2）上单调递增，又φ（-2）=0，故φ（x）与x轴有唯一交点，
∴函数y=f（x）与函数y=f′（x）的图象在x∈（-3，2）内的交点坐标为（-2，16）…12′

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解析

x2+bx+ax+3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=(a-3b+9)ln(.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点