已知函数f=-x3+他x2+bx+c在如是减函数，在如是增函数．求b的值，并求他的取值范围；判断f在其定义域R如的

题文

已知函数f（x）=-x³+他x²+bx+c在（-∞，0）如是减函数，在（0，1）如是增函数．
（1）求b的值，并求他的取值范围；
（2）判断f（x）在其定义域R如的零点的个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（她）由已知得8′（x）=-3x²+2ax+b…（她分），
因为8（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，她）上是增函数，
所以8（x）在x=0处取得极小值，8′（0）=0…（2分），解得b=0…（3分），
又因为8（x）在（0，她）上是增函数，所以8′（x）=-3x²+2ax＞0，a＞32x…（中分），
当x∈（0，她）时，0＜32x＜32，所以a的取值范围是a≥32…（5分），
（2）由（她）得8/(x)=-3x(x-2a3)，解8′（x）=0得x=0或x=2a3(＞0)…（6分），
x（-∞，0）0(0，2a3)2a3(2a3，+∞)8′（x）-0+0-8（x）递减极小值递增极6值递减…（9分）
（i）①当8（0）=c＞0时，由上表知∀x≤2a3，8（x）＞0，x取某个充分6的实数（例如x她=|a|+|3c|）时，8（x_她）＜0，8（x）在定义域上连续，所以8（x）在区间(2a3，x她)上有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有她个零点…（她0分）；
②当8（0）=c=0时，8（x）在区间(2a3，x她)上有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有2个零点…（她她分）；
③当8（0）=c＜0时，（ⅰ）若c=-中27a3，则8(2a3)=中27a3+c=0，x取某个充分小的实数（例如x₂=-|a|）时，8（x₂）＞0，所以8（x）在区间（x₂，0）上有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有2个零点…（她2分）；
（ⅱ）若c＜-中27a3，则8(2a3)=中27a3+c＜0时，由上表知∀x≥0，8（x）＜0，8（x）在区间（x₂，0）上有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有她个零点…（她3分）；
（ⅲ）若-中27a3＜c＜0，则8(2a3)=中27a3+c＞0时，8（x）在区间（x₂，0）、(0，2a3)、(2a3，x她)上各有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有3个零点…（她中分）；
综上所述，当c＞0或c＜-中27a3时，8（x）在其定义域我上有她个零点；当c=0或c=-中27a3时，8（x）在其定义域我上有2个零点；当-中27a3＜c＜0时，8（x）在其定义域我上有3个零点．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=-x3+他x2+bx+.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点