已知函数h，定义fk=h+nk，x∈叫阶梯函数的第k阶，m叫阶宽，n叫阶高．

题文

已知函数h（x），定义f_k（x）=h（x-mk）+nk，x∈（mk，m+mk]，k∈Z（其中m＞0、n＞0是常数）叫阶梯函数的第k阶，m叫阶宽，n叫阶高．
（1）若h（x）=2^x，求当阶宽为2，阶高为3的第0阶和第k函数f₀（x）和f_k（x）的解析式；
（2）若h（x）=x²，设阶宽为2，阶高为3；是否存在正整数k，使得f_k（x）＜（1-3k）x+4k²+3k-1有解？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f₀（x）=h（x）=2^x，x∈（0，2]；f_k（x）=h（x-2k）+3k=2 ^x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z．
（2）若h（x）=x²，则f_k（x）=（x-2k）²+3k，f_k（x）＜（1-3k）x+4k²+3k-1
⇔（x-2k）²+3k＜（1-3k）x+4k²+3k-1，
整理得出x²-（k+1）x+1＜0．
当k=1时，x²-2x+1＜0无解，当k≥2时，x²-（k+1）x+1＜0，
得出k+1-(k+1)2-42＜x＜k+1+(k+1)2-42     ①
又根据x∈（2k，2k+2]，k∈Z           ②
又根据k+1+(k+1)2-42＜k+1+(k+1)22=k+1＜2k，
①②无公共部分，即不存在正整数k满足题意．

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解析

k+1-(k+1)2-42

考点

据考高分专家说，试题“已知函数h（x），定义fk（x）=h（x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点