设函数f=lnx-ax，a∈R．当x=1时，函数f取得极值，求a的值；当a＞0时，求函数f在区间[1，2]的最大值；当a=-

题文

设函数f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值；
（3）当a=-1时，关于x的方程2mf（x）=x²（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=1x-a=1-axx．    …（2分）
因为当x=1时，函数f（x）取得极值，所以f′（1）=1-a=0，所以a=1．
经检验，a=1符合题意．（不检验不扣分）      …（4分）
（2）f′（x）=1x-a=1-axx，x＞0．
令f′（x）=0得x=1a．因为x∈（0，1a）时，f′（x）＞0，x∈（1a，+∞）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1a）递增，在（1a，+∞）递减，…（5分）
①当0＜1a≤1，即a≥1时，f（x）在（1，2）上递减，所以x=1时，f（x）取最大值f（1）=-a；
②当1＜1a＜2，即12＜a＜1时，f（x）在（1，1a）上递增，在（ 1a，2）上递减，
所以x=1a时，f（x）取最大值f（1a）=-lna-1；
③当1a≥2，即0＜a≤12时，f（x）在（1，2）上递增，所以x=2时，f（x）取最大值f（2）=ln2-2a．
综上，①当0＜a≤12时，f（x）最大值为ln2-2a；②当12＜a＜1时，f（x）最大值为-lna-1；
③当a≥1时，f（x）最大值为-a．     …（8分）
（每种情形1分）
（3）因为方程2mf（x）=x²有唯一实数解，
所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，
设g（x）=x²-2mlnx-2mx，
则g′（x）=2x2-2mx-2mx，令g′（x）=0，x²-mx-m=0．
因为m＞0，x＞0，所以x₁=m-m2+4m2＜0（舍去），x₂=m+m2+4m2，
当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上单调递减，
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）单调递增，
当x=x₂时，g（x）取最小值g（x₂）．                …（10分）
则g(x2)=0g′(x2)=0
即x22-2mlnx2-2mx2=0x22-mx2-m=0
所以2mlnx₂+mx₂-m=0，因为m＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*），
设函数h（x）=2lnx+x-1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x₂=1，即m+m2+4m2=1，
解得m=12．                           …（12分）

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=lnx-ax，a∈R．（.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点