设函数f=ex+1，g=x+2．判断函数H=f-g零点的个数，并说明理由；设数列{an

题文

设函数f（x）=e^x+1，g（x）=（e-1）x+2（e是自然对数的底数）．
（1）判断函数H（x）=f（x）-g（x）零点的个数，并说明理由；
（2）设数列{a_n}满足：a₁∈（0，1），且f（a_n）=g（a_n+1），n∈N^*；
①求证：0＜a_n＜1；
②比较a_n与（e-1）a_n+1的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）=e^x+1，g（x）=（e-1）x+2，∴H（x）=f（x）-g（x）=e^x-（e-1）x-1
∴H′（x）=e^x-（e-1），
令H′（x）=0，则x₀=ln（e-1）
当x∈（-∞，x₀）时，H′（x）＜0，H（x）在（-∞，x₀）单调递减
当x∈（x₀，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）在（x₀，+∞）单调递增
故H（x）_min=H（x₀）=e^x₀-（e-1）x₀-1=e-1-（e-1）ln（e-1）-1
令t=e-1＞1，函数h（t）=t-tlnt-1，
因为h′（t）=-lnt＜0，所以函数h（t）=t-tlnt-1在（1，+∞）单调递减，故h（t）≤h（1）=0，
又e-1＞1，故H（x₀）＜0，从而H（x）有两个零点；
（2）①证明：因为f（a_n）=g（a_n+1），即ean+1=（e-1）a_n+1+2，所以a_n+1=1e-1（ean-1）
下面用数学归纳法证明a_n∈（0，1）
1°当n=1时，a₁∈（0，1）成立；
2°假设当n=k时，a_k∈（0，1），则a_k+1=1e-1（eak-1）
∵a_k∈（0，1），∴1＜eak＜e，∴0＜＜e-1
∴0＜a_k+1＜1
综上知，a_n∈（0，1）；
②∵（e-1）a_n+1-a_n=ean-1-a_n，
考虑函数p（x）=e^x-1-x（0＜x＜1）
∵p′（x）=e^x-1＞0，
∴p（x）在（0，1）上是增函数
故p（x）＞p（0）=0
∴（e-1）a_n+1-a_n＞0
∴（e-1）a_n+1＞a_n．

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解析

1e-1

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=ex+1，g（x）=（e.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点