已知函数f=x2+12．求函数y=f的极值；若函数y=f有三个不同的零点，求实数a的取值范围．

题文

已知函数f（x）=x²（x-3a）+12（a＞0，x∈R）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）有三个不同的零点，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

当f'（x）=3x（x-2a）．（2分）
令f'（x）=0，得x=0，或x=2a．且f(0)=12，f(2a)=-4a3+12．（6分）
（Ⅰ）当a＞0时，2a＞0．
当x变化时，函数在（-∞，0）增函数，在（0，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增（8分）
∴当a＞0时，在x=0处，函数f（x）有极大值f(0)=12；在x=2a处，函数f（x）有极小值f(2a)=-4a3+12．（10分）
（Ⅱ）要使函数f（x）=0有三个不同的零点，必须f(2a)=-4a3+12＜0．（12分）
解得a＞12．∴当a∈(12，+∞)时，函数y=f（x）有三个不同的零点．（14分）

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2（x-3a）+12.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点