已知函数f=x2+bx，g(x)=x+ax(a∈R)，H(x)=f(g(x))，f(x)≥g(x)g(f(x))，f(x)＜g(x).当a

题文

已知函数f（x）=x²+bx（b∈R），g(x)=x+ax(a∈R)，H(x)=f(g(x))，f(x)≥g(x)g(f(x))，f(x)＜g(x).
（Ⅰ） 当a=b=1时，求H（x）；
（Ⅱ） 当a=1时，在x∈[2，+∞）上H（x）=f（g（x）），求b的取值范围；
（Ⅲ） 当a＞0时，方程f（g（x））+c=0，在（0，+∞）上有且只有一个实根，求证：b、c中至少有一个负数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）当a=b=1时，f（x）=x²+x，g(x)=x+1x
由f（x）≥g（x）可得，x≥1或x＜0；由f（x）＜g（x）可得0＜x≤1
∵f[g(x)]=f(x+1x)=(x+1x)2+(x+1x)
g[f（x）]=g（x²+x）=x2+x+1x2+x
∴H(X)=(x+1x)2+(x+1x)，x≥1或x＜0x2+x+1x2+x，0＜x≤1
（II）当a=1时，x∈[2，+∞），H（x）=f[g（x）]可得当x≥2时，f（x）≥g（x）恒成立
即x2+bx≥x+1x在[2，+∞）恒成立
∴b≥-x+1+1x2在x∈[2，+∞）恒成立
令h（x）=-x+1+1x2，则容易得函数h（x）在[2，+∞）单调递减，则h（x）_max=h（2）=-34
∴b≥-34
（III）假设b≥0，c≥0，a＞0
由于g(x)=x+ax在（0，a]单调递减，在[a， +∞)单调递增
∴g(x)≥g(a)=2a＞0
∵c+f(g(x))=(x+ax)2+b(x+ax)+c在[2a，+∞）单调递增
∴c+f[g(x)]≥f(2a)+c=4a+ba+c＞0在（0，+∞）恒成立与f[g（x）]+c=0有根矛盾
故假设错误即b，c至少有一个为非负数

点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+bx（b∈R），.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点