已知函数f(x)=1x与g(x)=-x2+bx的图象只有两个公共点A、B，设A，B，求b，x1及x2的值．

题文

已知函数f(x)=1x与g(x)=-x2+bx的图象只有两个公共点A、B，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求b，x₁及x₂的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设F（x）=x³-bx²+1，则方程F（x）=0与f（x）=g（x）同解，故其有且仅有两个不同零点x₁，x₂．
由F'（x）=0得x=0或x=23b．这样，必须且只须F（0）=0或F（23b）=0，因为F（0）=1，故必有F（23b）=0，由此得b=3232．
不妨设x₁＜x₂，则x₂=23b=32，所以 F（x）=（x-x₁）(x-32)2，比较系数得-x134=1，故x₁=-1232．
故b=3232，x₁=-1232，x₂=23b=32．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=1x与g(x)=-x2.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点