已知函数f=-12x22x，g=logax，其中a为常数．如果h=f+g是增函数，且h′存在零点（h′（

题文

已知函数f（x）=-12x22x，g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），其中a为常数．如果h（x）=f（x）+g（x）是增函数，且h^′（x）存在零点（h^′（x）为h（x）的导函数）．
（1）求a的值；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数y=g（x）的图象上两点，g′(x0) =y2-y1x2-x1（g^′（x）为g（x）的导函数），证明：x₁＜x₀＜x₂． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为h（x）=12x²-2x+log_a^x （x＞0），
所以h′（x）=x-2+1xlna=x2lna-2xlna+1xlna．
因为h（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
所以x2lna-2xlna+1xlna≥0在区间（0，+∞）上恒成立．
若0＜a＜1，则lna＜0，于是x²lna-2xlna+1≤0恒成立．
又h′（x）存在正零点，故△=（-2lna）²-4lna=0，lna=0，或lna=1与lna＜0矛盾．所以a＞1．
由x²lna-2xlna+1≥0恒成立，又h′（x）存在正零点，故△=（-2lna）²-4lna=0，
所以lna=1，即a=e．
（2）由（1），g′（x₀）=1x0，于是1x0=y2-y1x2-x1，x₀=x2-x1lnx2-lnx1
以下证明x₁＜x2-x1lnx2-lnx1（※）
（※）等价于x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0．
令r（x）=xlnx₂-xlnx-x₂+x
r′（x）=lnx₂-lnx，在（0，x₂]上，r′（x）＞0，所以r（x）在（0，x₂]上为增函数．
当x₁＜x₂时，r（x₁）＜r（x₂）=0，即x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0，
从而x₀＞x₁得到证明．
对于x₂＞x2-x1lnx2-lnx1同理可证，所以x₁＜x₀＜x₂．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=-12x22x，g（x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点