已知函数f(x)=23sin(π-x)+2sin(3π2+x)若x∈[0，π]，求f的值域；若x0为函数y=f的一个零点，求2cos2x

题文

已知函数f(x)=23sin(π-x)+2sin(3π2+x)
（1）若x∈[0，π]，求f（x）的值域；
（2）若x₀为函数y=f（x）的一个零点，求2cos2x02-sinx0-12sin(x0+π4)的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

f（x）=23sinx-2cosx=4sin（x-π6），
令t=x-π6，则y=4sint，
∵x∈[0，π]，∴t∈[-π6，5π6]，
则由三角函数的图象知f（x）∈[-2，4]；
（2）∵x₀为函数y=f（x）的一个零点，
∴f（x₀）=4sin（x₀-π6）=23sinx₀-2cosx₀=0，
∴tanx₀=33，
∴2cos2x02-sinx0-12sin(x0+π4)=cosx0-sinx0sinx0+cosx0=1-tanx01+tanx0=1-331+33=2-3．

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解析

3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=23sin(π-x)+.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点