已知函数f=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则a•b=______．

题文

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10，则a•b=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意得，f′（1）=3+2a+b=0①，f（1）=1+a+b+a²=10②，
联立①②解得a=4b=-11或a=-3b=3，
当a=-3，b=3时，f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²，
x＜1或x＞1时，f′（x）＞0，所以x=1不为极值点，不合题意；
经检验，a=4，b=-11符合题意，
所以ab=-44，
故答案为：-44．

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解析

a=4b=-11

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点