题文
已知定义在R上的函数f(x)=13x3-3a+12x2+2a(a+1)x，其中a≠1．（Ⅰ）当a=2时，判断f（x）的单调性并求f（x）的极值点；
（Ⅱ）若y=f（x）的图象与x轴恰有三个不同的交点，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）对f（x）求导得：f′（x）=x2-（3a+1）x+2a（a+1），代入a=2有f′（x）=（x-3）（x-4）；
令f′（x）＞0得x∈（-∞，3）∪（4，+∞）；又令f′（x）＜0，得到：x∈（3，4），
于是：f（x）在（-∞，3），（4，+∞）上单调递增；f（x）在（3，4）上单调递减．
当x=3时，f（x）有极大值，当x=4时，f（x）有极小值，所以x=3是极大值点，x=4是极小值点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=（x-2a）[x-（a+1）]，
（1）当a＜1时，有：2a＜a+1；令f′（x）＞0得：x∈（-∞，2a）∪（a+1，+∞）；
再令f′（x）＜0得：x∈（2a，a+1），故f（x）在（-∞，2a），（a+1，+∞）上单调递增，
在（2a，a+1）上单调递减；此时可知：f（2a）为f（x）的极大值，f（a+1）为f（x）的极小值；
欲使y=f（x）的图象与x轴恰有三个交点，则必有：f(2a)＞0f(a+1)＜0，
即是：2a33+2a2＞0(a+1)2(5a-1)6＜0，解得：a∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，15）．
（2）当a＞1时，有：2a＞a+1；令f′（x）＞0得：x∈（-∞，a+1）∪（2a，+∞）；
再令f′（x）＜0得：x∈（a+1，2a），故f（x）在（-∞，a+1），（2a，+∞）上单调递增，
在（a+1，2a）上单调递减；此时可知：f（a+1）为f（x）的极大值，f（2a）为f（x）的极小值；
欲使y=f（x）的图象与x轴恰有三个交点，则必有：f(2a)＜0f(a+1)＞0，
即是：2a33+2a2＜0(a+1)2(5a-1)6＞0⇒a∈∅，
综上可知：a∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，15）．
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解析
f(2a)＞0f(a+1)＜0考点
据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数f(x)=13x3-.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
