已知函数f=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线y=-3x+3在点处相切，求a，b，c的值．若关于x的方程

题文

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线y=-3x+3在点（ 1，0 ） 处相切，
（1）求a，b，c的值．
（2）若关于x的方程f（x）=m有三个不同实根，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函数f（x）在x=-2时取得极值，∴f′（-2）=0，即12-4a+b=0①，
∵函数图象与直线y=-3x+3切于点P（1，0）．
∴f′（1）=-3，f（1）=0，即 3+2a+b=-3②，1+a+b+c=0③，
由①②③解得a=1，b=-8，c=6；
（2）由（1）知，f（x）=x³+x²-8x+6，f′（x）=3x²+2x-8=（3x-4）（x+2），
由f′（x）＞0得，x＜-2或x＞43，由f′（x）＜0得，-2＜x＜43，
所以f（x）在（-∞，-2）和（43，+∞）上递增，在（-2，43）上递减，
所以当x=-2时f（x）取得极大值f（-2）=18，当x=43时f（x）取得极小值f（43）=-6227，
因为关于x的方程f（x）=m有三个不同实根，所以函数y=f（x）和y=m图象有三个交点，
所以-6227＜m＜18，即为m的取值范围．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点