已知函数f=lnx-ax+1，a∈R是常数．求函数y=f的图象在点P）处的切线l的方程；证明函数y=f的图

题文

已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数．
（1）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；
（2）证明函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；
（3）若函数y=f（x）有零点，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′(x)=1x-a…（2分）f（1）=-a+1，k_l=f'（1）=1-a，
所以切线l的方程为y-f（1）=k_l（x-1），即y=（1-a）x．…（4分）
（2）令F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，
则F′(x)=1x-1 =1x(1-x) ，解F′(x)=0得x=1．
x（0，1）1（1，+∞）F'（x）+0-F（x）↗最大值↘F（1）＜0，所以∀x＞0且x≠1，F（x）＜0，f（x）＜（1-a）x，
即函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方．      …（9分）
（3）y=f（x）有零点，即f（x）=lnx-ax+1=0有解，a=lnx+1x．
令 g(x)=lnx+1x，g′(x)=(lnx+1x)′=1-(lnx+1)x2=-lnxx2，
解g'（x）=0得x=1．…（11分）
则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
当x=1时，g（x）的最大值为g（1）=1，
所以a≤1．…（13分）

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点