已知曲线C1：ρcos=22；曲线C2：ρ2=32-cos2θ．试判断曲线C1与C2的交点个数；若过点M直线l与曲线C2交于两

题文

已知曲线C₁：ρcos（θ+π4）=22；曲线C₂：ρ²=32-cos2θ．
（1）试判断曲线C₁与C₂的交点个数；
（2）若过点M（1，0）直线l与曲线C₂交于两个不同的点A，B，求|MA|•|MB||AB|的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由ρcos（θ+π4）=22，得22ρ（cosθ-sinθ）=22，
所以x-y=1，
由ρ²=32-cos2θ，得ρ²（3-2cos²θ）=3，
所以3（x²+y²）-2x²=3，即x²+3y²=3，
由x-y=1x2+3y2=3得2x²-3x=0，解得x=0或x=32，
所以曲线C₁与C₂的交点有两个；
（2）①当直线l存在斜率时，设l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由y=k(x-1)x2+3y2=3得（1+3k²）x²-6k²x+3k²-3=0，
△=36k⁴-4（1+3k²）（3k²-3）＞0，即2k²+1＞0恒成立，
则x1+x2=6k21+3k2，x1x2=3k2-31+3k2，
|MA|=1+k2|x1-1|，|MB|=1+k2|x2-1|，|AB|=1+k2|x1-x2|，
|MA|•|MB||AB|=(1+k2)|x1-1||x2-1|1+k2|x1-x2|=1+k2|x1x2-(x1+x2)+1||x1-x2|
=1+k2|3k2-31+3k2-6k21+3k2+1|(6k21+3k2)2-4(3k2-3)1+3k2=66•k2+1k2+12=66•1+12k2+1，
又k²≥0，所以66＜|MA|•|MB||AB|≤66•2=33；
②当直线l不存在斜率时，把x=1代入x²+3y²=3得y=±63，
此时|MA|•|MB||AB|=(63)2263=66，
综合①②得|MA|•|MB||AB|的取值范围为[66，33]．

点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习

解析

π4

考点

据考高分专家说，试题“已知曲线C1：ρcos（θ+π4）=22.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点