设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)当b＞0时，判断函数fn在上的单调性；设n≥2，b=1，c=-1，证明：f

题文

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
（Ⅰ）当b＞0时，判断函数f_n（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间(12，1)内存在唯一的零点；
（Ⅲ）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵fn(x)=xn+bx+c，
∴fn′(x)=nxn-1+b
∵b＞0，x＞0，n∈N₊
∴f_n′（x）＞0
∴函数f_n（x）在（0，+∞）上的单调递增；
（Ⅱ）证明：由n＞2，b=1，c=-1，得f_n（x）=xⁿ+x-1
∴f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在(12，1)上恒成立，
∴f_n（x）=xⁿ+x-1在(12，1)单调递增，
∵f_n（1）=1＞0，f_n（12）=(12)n-12＜0，
∴f_n（x）在区间(12，1)内存在唯一的零点；
（Ⅲ）当n=2时，f₂（x）=x²+bx+c
①当b≥2或b≤-2时，即-b2≤-1或-b2≥1，此时只需满足|f₂（1）-f₂（-1）|=|2b|≤4
∴-2≤b≤2，即b=±2；
②当0≤b＜2时，即-1＜-b2≤0，此时只需满足f₂（1）-f₂（-b2）≤4，即b²+4b-12≤0
解得：-6≤b≤2，即b∈[0，2）
③当-2＜b＜0时，即0＜-b2＜1，此时只需满足f₂（-1）-f₂（-b2）≤4，即b²-4b-12≤0
解得：-2≤b≤6，即b∈（-2，0）
综上所述：b∈[-2，2]．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点