设函数f(x)=lnx-12ax2+x．当a=2时，求f的最大值；令F(x)=f(x)+12ax2-x+ax，以其图象上任意一点

题文

设函数f(x)=lnx-12ax2+x．
（1）当a=2时，求f（x）的最大值；
（2）令F(x)=f(x)+12ax2-x+ax（0＜x≤3），以其图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤12恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0时，方程mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）a=2时，f（x）=lnx+x-x²，f/(x)=1x+1-2x…（1分），
解f′（x）=0得x=1或x=-12（舍去）…（2分），
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调增加，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调减少…（3分），
所以f（x）的最大值为f（1）=0…（4分）
（2）F(x)=lnx+ax（0＜x≤3），k=F/(x0)=1x0-ax02（0＜x₀≤3）…（6分）
由k≤12恒成立得a≥x0-12x02=-12(x0-1)2+12恒成立…（7分）
因为-12(x0-1)2+12≤12，等号当且仅当x₀=1时成立…（8分），
所以a≥12…（9分）
（3）a=0时，方程mf（x）=x²即x²-mx-mlnx=0，
设g（x）=x²-mx-mlnx，
解g/(x)=2x-m-mx=0…（10分），得x1=m-m2+8m4（＜0舍去），x2=m+m2+8m4，
类似（1）的讨论知，g（x）在x∈（0，x₂）单调增加，
在x∈（x₂，+∞）单调减少，最大值为g（x₂）…（11分），
因为mf（x）=x²有唯一实数解，g（x）有唯一零点，所以g（x₂）=0…（12分），
由g′ (x2)=0g(x2)=0得x₂+2lnx₂-1=0，
因为h（x）=x+lnx-1单调递增，且h（1）=0，
所以x₂=1…（13分），
从而m=1…（14分）．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=lnx-12ax2+x．.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点