若x=3是函数f=aln+x2-10x的一个极值点．求函数f的单调区间；若直线y=b与函数y=f的图象有3个交点，求b的

题文

若x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一个极值点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为f′(x)=a1+x+2x-10，
所以f′(3)=a4+6-10=0，因此a=16…2分
故 f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，x∈（-1，+∞），
f′(x)=2(x2-4x+3)1+x…4分
当x∈（-1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调增区间是（-1，1），（3，+∞），f（x）的单调减区间是（1，3）…6分
（2）由（1）知，f（x）在（-1，1）内单调增加，
在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，
所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2-9，极小值为f（3）=32ln2-21，…8分
所以在f（x）的三个单调区间（-1，1），（1，3），（3，+∞），
直线y=b与y=f（x）的图象各有一个交点，
当且仅当f（3）＜b＜f（1）．
因此b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）．…12分．

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解析

a1+x

考点

据考高分专家说，试题“若x=3是函数f（x）=aln（1+x）.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点