已知函数f(x)=13x3+12(p-1)x2+qx(p，q为常数）．若函数f在x=1和x=3处取得极值，试求p，q的值；在的条件下，求

题文

已知函数f(x)=13x3+12(p-1)x2+qx(p，q为常数）．
（I）若函数f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求p，q的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，求证：方程f（x）=1有三个不同的实数根；
（Ⅲ）若函数f （x）在（一∞，x₁）和（x₂，+∞）单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减，又x₂-x₁＞l，且x₁＞a，试比较a²+pa+q与x₁的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）对函数f（x）求导数，得f'（x）=x²+（p-1）x+q
由题意，得x=1和x=3是方程x²+（p-1）x+q=0的两个实数根，则1+3=-(p-1)1×3=q
解之得p=-3，q=3．
经检验可得p=-3，q=3符合题意．
（II）由（I）得f（x）=13x³-2x²+3x，设g（x）=f（x）-1=13x³-2x²+3x-1
则g'（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
当x＜1或x＞3时，g'（x）＞0；当1＜x＜3时，g'（x）＜0
∴函数g（（x）在区间（-∞，1）和（3，+∞）上是增函数；在区间（1，3）上是减函数
由此可得g（1）是g（x）的极大值，而g（3）是g（x）的极小值
∵g（1）=13＞0，g（3）=-1＜0，
∴结合g（0）=-1＜0，g（4）=13＞0，可得g（x）=0在区间（0，1）、（1，3）、（3，4）上分别有一个零点
由以上证明过程，可得方程f（x）=1有三个不同的实数根；
（III）由题意，得x₁、x₂为函数的两个极值点．
即得x₁、x₂为方程x²+（p-1）x+q=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=1-p，x₁x₂=q
由已知x₂＞x₁＞a，得x₁-a＞0且x₂-a＞0
而x²+（p-1）x+q=（x-x₁）（x-x₂）
则a²+pa+q-a=a²+（p-1）a+q=（a-x₁）（a-x₂）＞0
∴a²+pa+q-x₁=a²+（p-1）a+q+a-x₁=（a-x₁）（a+1-x₂）
∵x₂-x₁＞l，x₁＞a，得x₂＞l+x₁＞a+l，a+1-x₂＜0
∴a²+pa+q-x₁＞0，可得a²+pa+q＞x₁

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解析

1+3=-(p-1)1×3=q

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=13x3+12(p-1.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点