已知f=a+4sin2x+9，若f(9π4)=13-92．求a的值；求f的最小正周期；是

题文

已知f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，若f(9π4)=13-92．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的最小正周期（不需证明）；
（3）是否存在正整数n，使得方程f（x）=0在区间[0，nπ]内恰有2011个根．若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=9π4，得2a+4+9=13-92，得a=-9．
（2）f(x+π)=-9(|sin(x+π|+|cos(x+π)|)+4sin2(x+π)+9=-9(|sinx|+|cosx|)+4sin2x+9=f(x)
所以，f（x）的最小正周期为π．
（3）不存在n满足题意．  当x∈[0，π2]时，f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9．
设t=sinx+cosx=2sin(x+π4)，t∈[1，2]，则sin2x=2sinxcosx=t²-1，
于是f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9=4t²-9t+5，令4t²-9t+5=0，得t=1或t=54∈[1，2]，
于是x=0，π2，或x=x0(0＜x0＜π4)或x=π2-x0，其中sin(x0+π4)=528，
当x∈(π2，π)时，f（x）=-9（sinx-cosx）+4sin2x+9．
设t=sinx-cosx=2sin(x-π4)，t∈(1，2]，则sin2x=2sinxcosx=1-t²，
于是f（x）=-9（sinx-cosx）+4sin2x+9=-4t²-9t+13，令-4t²-9t+13=0，
解得t=1或t=-134∉(1，2]，故f（x）在x∈(π2，π)没有实根．
综上讨论可得，f（x）=0在[0，π）上有4根，而2011=4×502+3，而在[0，502π]有2009个根，在[0，503π]上有2013个根，
故不存在n，使得f（x）=0在区间[0，nπ]内恰有2011个根．

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解析

9π4

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=a（|sinx|+|cos.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点