已知函数f(x)=ln(2+3x)-32ax2，在x=13时取得极值，若关于x的方程f=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

题文

已知函数f(x)=ln(2+3x)-32ax2，在x=13时取得极值，若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f′(x)=32+3x-3ax，由f′(13)=0，得a=1
∴f(x)=ln(2+3x)-32x2（3分）
由f（x）=-2x+b知ln(2+3x)-32x2+2x-b=0，（4分）
令ϕ(x)=ln(2+3x)-32x2+2x-b，则ϕ′(x)=32+3x-3x+2=7-9x22+3x
当x∈[0，73]时，ϕ'（x）＞0，于是ϕ（x）在[0，73]上递增；当x∈[73，1]时，ϕ'（x）＜0，于是ϕ（x）在[73，1]上递减，而ϕ(73)＞ϕ(0)，ϕ(73)＞ϕ(1)（8分）
∴f（x）=-2x+b即ϕ（x）=0在[0，1]上恰有两个不同实根等价于ϕ(0)=ln2-b≤0ϕ(73)=ln(2+7)-76+273-b＞0ϕ(1)=ln5+12-b≤0，（10分）
解得ln5+12≤b＜ln(2+7)-76+273（12分）

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解析

32+3x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ln(2+3x)-32.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点