题文
已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2lnx(a＞0)．（1）若a=12，求f（x）在[1，+∞）上的最小值
（2）若a≠12，求函数f（x）的单调区间；
（3）当12＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上是否有零点，若有，求出零点，若没有，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当a=12时，f(x)=14x2-2x+2lnx(x＞0)，f′（x）=x2-2+2x=(x-2)22x≥0，
∴f（x）在[1，+∞）是增函数，
∴f（x）的最小值为f（1）=-74．
（2）∵f′(x)=ax-(2a+1)+2x（x＞0）．
即 f′(x)=(ax-1)(x-2)x（x＞0）．
∵1a-2=1-2aa，∵a＞0，a≠12
∴当0＜a＜12时，1a＞2，由f′（x）＞0得0＜x＜2或x＞1a，由f′（x）＜0，得2＜x＜1a；
当a＞12时，1a＜2，由f′（x）＞0得0＜x＜1a或x＞2，由f′（x）＜0，得1a＜x＜，2；
所以当0＜a＜12时，f（x）的单调递增区间是（0，2]和[1a，+∞)，单调递减区间是[2，1a]；
当a＞12时，f（x）的单调递增区间是(0，1a]和[2，+∞），单调递减区间是[1a，2]．
（3）先求f（x）在x∈[1，2]的最大值．由（2）可知，
当12＜a＜1时，f（x）在[1，1a]上单调递增，在[1a，2]上单调递减，
故f(x)max=f(1a)=-2-12a-2lna．
由a＞12可知，lna＞ln12＞ln1e=-1，2lna＞-2，-2lna＜2，
所以-2-2lna＜0，则f（x）max＜0，
故在区间[1，2]上f（x）＜0．恒成立，
故当a＞12时，函数f（x）在区间[1，2]上没有零点．
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解析
12考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=12ax2-(2a+1.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
