已知函数f=ax2+a2x+2b-a3，当x∈时，其值为正，而当x∈∪时，其值为负．求实数a，b的值及函数f（

题文

已知函数f（x）=ax²+a²x+2b-a³，当x∈（-2，6）时，其值为正，而当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，其值为负．
（I）求实数a，b的值及函数f（x）的解析式；
（II）设F（x）=-k4f（x）+4x+12k，问k取何值时，方程F（x）=0有正根？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意可知-2和6是方程f（x）=0的两根，
∴-a=-2+6=42b-a3a=-2×6=-12，解得a=-4b=-8．
∴此时a=-4，b=-8．
f（x）=-4x²+16x+48．
（Ⅱ）F（x）=-k4（-4x²+16x+48）+4x+12k=kx²+4（1-k）x，
当k=0时，F（x）=4x，不合题意；
当k≠0时，F（x）=0的一根为4(k-1)k，
则有k（k-1）＞0，解得k＞1或k＜0．
故当k＞1或k＜0时，方程F（x）=0有正根．

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解析

-a=-2+6=42b-a3a=-2×6=-12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+a2x+2b-.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点