已知函数f=ex的定义域为试确定t的取值范围，使得函数f在上为单调函数．求证：对于

题文

已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x的定义域为（-2，t）（t＞-2）
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在（-2，t）上为单调函数．
（2）求证：对于任意t＞-2，总存在x₀满足f′(x0)ex0=23(t-1)2并确定这样的x₀个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x=0，得x=0或x=1
由f′（x）＞0⇒x＜0，或x＞1；f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴要使f（x）在（-2，t）上为单调函数，则-2＜t≤0．（6分）
（2）∵f′(x0)ex0=x20-x0，
∴f′(x0)ex0=23(t-1)2，
即为x₀²-x₀=23(t-1)2，
令g（x）=x²-x-23(t-1)2，从而问题转化为证明方程g（x）=x2-x-23(t-1)2=0在（-2，t）上有解并讨论解的个数，
因为g（-2）=6-23（t-1）²=-23(t-4)(t+2)，g（t）=t（t-1）-23(t-1)2=13(t+2)(t-1)，
所以当t＞4或-2＜t＜1时，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-43(t-1)2＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解，
当t=1时，g（x）=x²-x=0，解得x=0或1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
当t=4时，g（x）=x²-x-6=0，
所以g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足 f′(x0)ex0=23(t-1)2，
且当t≥4或-2＜t≤1时，有唯一的x₀适合题意，
当1＜t＜4时，有两个x₀适合题意．

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解析

f′(x0)ex0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点