题文
已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（Ⅰ） 当a=-1时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ） 讨论f（x）在区间（0，e）上的单调情况；
（Ⅲ）试推断方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x是否有实数解．若有实数解，请求出它的解集． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ） 当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+1x=1-xx…（1分）当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数…（3分）
∴f（x）max=f（1）=-1…（4分）
（Ⅱ）∵f′（x）=a+1x，x∈（0，e），1x∈(1e，+∞)…（5分）
①若a≥-1e，则f′（x）＞0，从而f（x）在（0，e）上增函数…（6分）
②若a＜-1e，则由f′（x）＞0⇒a+1x＞0，即0＜x＜-1a
由f′（x）＜0⇒a+1x＜0，即-1a＜x＜e．…（7分）
∴f（x）在(0，-1a)上增函数，在(-1a，e)为减函数…（8分）
综合上面得：当a≥-1e时，f（x）在（0，e）上增函数；当a＜-1e时，f（x）在(0，-1a)上增函数，在(-1a，e)为减函数．
（Ⅲ）|2x（x-lnx）|=2lnx+x⇔|x-lnx|=lnxx+12…（9分）
由（Ⅰ）知当a=-1时f（x）max=f（1）=-1，即-x+lnx≤-1
∴|x-lnx|≥1…（10分）
又令g（x）=lnxx+12，g′（x）=1-lnxx2，
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；令g′（x）＜0，得x＞e
∴g（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）
∴g（x）max=g（e）=1e+12＜1，∴g（x）＜1…（12分）
∴|x-lnx|＞g（x），即|x-lnx|＞lnxx+12…（13分）
∴方程|x-lnx|=lnxx+12即方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x没有实数解．…（14分）
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解析
1x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
