已知函数f=x2-alnx．当a=3时，求曲线y=f在点）处的切线方程；讨论函数f在区间上

题文

已知函数f（x）=x²-alnx（常数a＞0）．
（Ⅰ）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（1，e^a）上零点的个数（e为自然对数的底数）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当a=3时，f（x）=x²-3lnx，
∴f'（x）=2x-3x（1分）
∴fˊ（1）=-1
又∵f（1）=1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=-（x-1）．
即x+y-2=0．--------------------------------3分
（Ⅱ）（1）下面先证明：e^a＞a（a≥0）．
设g（a）=e^a-a（a≥0），则g′（a）=e^a-1≥e⁰-1=0（a≥0），且仅当g′（a）=0⇔a=0，
所以g（a）在[0，+∞）上是增函数，故g（a）≥g（0）=1＞0．
所以e^a-a＞0，即e^a＞a（a≥0）．------------------------------5分
（2）因为f（x）=x²-a lnx，
所以f′（x）=2x-ax=2x2-ax=2(x-2a2)(x+2a2) x．
因为当0＜x＜2a2时，fˊ（x）＜0，当x＞2a2时，1，fˊ（x）＞0．
又a2＜a＜e^a＜e^2a（a≥0，a＜2a）⇒2a2＜e^a，
所以f（x）在（0，2a2]上是减函数，在[2a2，+∞）是增函数．
所以f（x）_min=f（2a2）=a2(1-lna2)．------------------------------9分
（3）下面讨论函数f（x）的零点情况．
①当a2(1-lna2)＞0，即0＜a＜2e时，函数f（x）在（1，e^a）上无零点；
②当a2(1-lna2)=0，即a=2e时，2a2=e，则1＜2a2＜e^a
而f（1）=1＞0，f（2a2）=0，f（e^a）＞0，
∴f（x）在（1，e^a）上有一个零点；
③当a2(1-lna2)＜0，即a＞2e时，e^a＞2a2＞e＞1，
由于f（1）=1＞0，f（2a2）=a2(1-lna2)＜0．
f（e^a）=e^2a-a lne^a=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
所以，函数f（x）在（1，e^a）上有两个零点．（13分）
综上所述，f（x）在（1，e^a）上有结论：
当0＜a＜2e时，函数f（x）有、无零点；
a=2e时，函数f（x）有一个零点；
当a＞2e时，函数f（x）有两个零点．------------------------------14分．

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解析

3x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-alnx（常数a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点