已知定义在实数集上的函数fn=xn，n∈N*，其导函数记为f'n，且满足：f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+1λ(ξ2-ξ1)

题文

已知定义在实数集上的函数f_n（x）=xⁿ，n∈N^*，其导函数记为f'_n（x），且满足：f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+1λ(ξ2-ξ1)]（ξ₁≠ξ₂），λ，ξ₁，ξ₂为常数．
（Ⅰ）试求λ的值；
（Ⅱ）设函数f_2n-1（x）与f_n（1-x）的乘积为函数F（x），求F（x）的极大值与极小值；
（Ⅲ）试讨论关于x的方程f′n(1+x)f′n+1(1+x)=λn-1λn+1-1在区间（0，1）上的实数根的个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f₂（x）=x²，则f₂′（x）=2x，
∴ξ22=ξ12+2(ξ2-ξ1)[ξ1+1λ(ξ2-ξ1)]，又ξ₁≠ξ₂，
∴ξ2+ξ1=2ξ1+2λ(ξ2-ξ1)⇒λ=2．…（4分）
（Ⅱ）令y=F（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x）=（1-x）ⁿ•x^2n-1，
则y'=-n（1-x）^n-1•x^2n-1+（2n-1）x^2n-2•（1-x）ⁿ=x^2n-2•（1-x）^n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，…（3分）
令y'=0，得x1=0，x 2=2n-13n-1，x3=1，且x₁＜x₂＜x₃，
当n为正偶数时，随x的变化，y'与y的变化如下：
x（-∞，0）0(0，2n-13n-1)2n-13n-1(2n-13n-1，1)1（1，+∞）y'+0+0-0+y极大值极小值所以当x=2n-13n-1时，y_极大=(2n-1)2n-1•nn(3n-1)3n-1；当x=1时，y_极小=0．…（7分）
当n为正奇数时，随x的变化，y'与y的变化如下：
x（-∞，0）0(0，2n-13n-1)2n-13n-1(2n-13n-1，1)1（1，+∞）y'+0+0-0+y极大值所以当x=2n-13n-1时，y_极大=(2n-1)2n-1•nn(3n-1)3n-1；无极小值．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，f′n(1+x)f′n+1(1+x)=2n-12n+1-1，即n(1+x)n-1(n+1)(1+x)n=2n-12n+1-1(x≠-1)，
所以方程为n(n+1)•11+x=2n-12n+1-1(x≠-1)，…（12分）∴x=n(2n+1-1)-(n+1)(2n-1)(n+1)(2n-1)=1+(n-1)2n(n+1)(2n-1)＞0，…（13分）
又x-1=n+2-2n+1(n+1)(2n-1)，而对于n∈N^*，有2ⁿ⁺¹＞n+2（利用二项式定理可证），∴x＜1．…（14分）
综上，对于任意给定的正整数n，方程只有唯一实根，且总在区间（0，1）内，所以原方程在区间（0，1）上有唯一实根．…（15分）

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解析

1λ

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在实数集上的函数fn（x）=xn.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点