如果偶函数f在R上可导，且是周期为T=3的周期函数，且f′=0，则方程f′=0在区间[0，6]上的实根个数至少是A．11B．9C．7D

题文

如果偶函数f（x）在R上可导，且是周期为T=3的周期函数，且f′（1）=0，则方程f′（x）=0在区间[0，6]上的实根个数至少是（ ）A．11B．9C．7D．5 题型：未知 难度：其他题型

答案

由偶函数f（x）的周期为T=3可得，f（x+32）=f（x-32）=f（32-x），
∴偶函数f（x）的图象关于直线x=32对称，且函数f′（x）是奇函数，且周期等于32．
由偶函数f（x）在R上可导，知 f'（0）=f'（32）=f'（3）=0．
再由周期等于32以及 f′（1）=0，求得 f′（52）=f′（4）=f′（92）=f′（112）=f′（6）=0．
综上，方程f′（x）=0在区间[0，6]上的实根为 x=0，32，1，52，3，4，92，112，6，共有9个，
故选 B．

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解析

32

考点

据考高分专家说，试题“如果偶函数f（x）在R上可导，且是周期为.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点