设函数f(x)=-13x3+x2+(a2-1)x，其中a＞0．若函数y=f在x=-1处取得极值，求a的值；已知函数f有3个不同的零点，分

题文

设函数f(x)=-13x3+x2+(a2-1)x，其中a＞0．
（1）若函数y=f（x）在x=-1处取得极值，求a的值；
（2）已知函数f（x）有3个不同的零点，分别为0、x₁、x₂，且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）求导函数，可得f′（x）=-x²+2x+（a²-1）
∵函数y=f（x）在x=-1处取得极值，
∴f′（-1）=0
∴-1-2+（a²-1）=0
∴a=±2
经检验，a=2符合题意；
（2）由题意，f(x)=-13x3+x2+(a2-1)x=x（-13x2+x+a2-1）=-13x(x-x1)(x-x2)
∵函数f（x）有3个不同的零点，分别为0、x₁、x₂，
∴-13x2+x+a2-1=0有两个相异的实根x₁、x₂，
∴△=1+43(a2-1)＞0，∴a＜-12（舍去），或a＞12
且x₁+x₂=3
∵x₁＜x₂，∴2x₂＞x₁+x₂=3，∴x₂＞32＞1
①若x₁≤1＜x₂，则f（1）=-13(1-x1)(1-x2)≥0，而f（x₁）=0，不符合题意；
②若1＜x₁＜x₂，则对任意的x∈[x₁，x₂]，有x-x₁≥0，x-x₂≤0，
∴f(x)=-13x(x-x1)(x-x2)≥0
又f（x₁）=0，∴f（x）在[x₁，x₂]上的最小值为0
∴对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，等价于f（1）=a2-13＜0
∴-33＜a＜33
综上可得a的取值范围为(12，33)．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=-13x3+x2+(a2.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点