题文
已知函数f（x）=（x-1）2，g（x）=alnx．（1）若两曲线y=f（x）与y=g（x）在x=2处的切线互相垂直，求a的值，并判断函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性并写出其单调区间；
（2）若函数ϕ(x)=af(x)+g(x)a的图象与直线y=x至少有一个交点，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由题意：g′（x）=ax，∴g（x）的图象在x=2切线的斜率为：g′（2）=a2，又f′（x）=2（x-1），∴f（x）的图象在x=2切线的斜率为：f′（2）=2，
由两曲线y=f（x）与y=g（x）在x=2处的切线互相垂直得：
a2×2=-1，∴a=-1，
∴F（x）=f（x）-g（x）=（x-1）2+lnx，（x＞0）
∴F′（x）=2x+1x-2≥22-2＞0
即函数F（x）在（0，+∞）上为增函数，
（2）ϕ（x）=af(x)+g(x)a=a(x-1)2+lnx
令h（x）=ϕ（x）-x，由题意得h（x）=0在区间（0，+∞）上至少有一解，h′(x)=(2ax-1)(x-1)x，令h'（x）=0，得x1=12a，x2=1
①当12a＜0即a＜0时，h（x）单调递增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），
所以h（x）max=h（1）=-1＜0，所以方程h（x）=0无解．
②当12a＞1即0＜a＜12时，h（x）单调递增区间为（0，1），（12a，+∞)，减区间为（1，12a），所以极大值h（1）=-1，极小值h(12a)＜0，
又h（x）=a(x-1)2+lnx-x=a(x-1-12a)2+lnx-14a-1
∴h(2+1a)=a(1+12a)2+ln(2+1a)-1-14a=a+ln(2+1a)＞0，所以方程恰好有一解；
③当a=12时，h'（x）≥0，由上②知方程也恰好有一解；
④当a＞12时，h（x）单调递增区间为（0，12a），（1，+∞），减区间为（12a，1），
同上可得方程h（x）=0在（0，+∞）上至少有一解．
综上所述，所求a的取值范围为（0，+∞）
点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习
解析
ax考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（x-1）2，g（x）.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
