已知函数f=x3+ax2-1，x∈R，a∈R．设对任意x∈≤x恒成立，求a的取值范围；是否存在实数a，使得满足f′

题文

已知函数f（x）=x³+ax²-1，x∈R，a∈R．
（Ⅰ） 设对任意x∈（-∞，0]，f（x）≤x恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ） 是否存在实数a，使得满足f^′（t）=4t²-2alnt的实数t有且仅有一个？若存在，求出所有这样的a；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）解法一：由f（-1）≤-1，得-2+a≤-1，即a≤1；
又当a≤1时，ax²≤x²，因为x≤0，则x-1＜0，
于是f（x）-x=x³+ax²-1-x≤x³+x²-1-x=（x+1）²（x-1）≤0，
即f（x）≤x恒成立，故a的取值范围是（-∞，1]．
解法二：当x=0时，f（0）=-1≤0，此时a∈R；
当x＜0时，f（x）≤x等价于a≤-x+1x+1x2．
令g（x）=-x+1x+1x2，x＜0，
由g′(x)=-1-1x2-2x3=x3+x+2-x3=(x+1)(x2-x+2)-x3，
因为x²-x+2＞0，-x³＞0，
所以g′（x）＜0，解得x＜-1，g′（x）＞0，解得-1＜x＜0，
于是g（x）在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，0）是增函数，
从而g（x）_min=g（-1）=1，所以a≤1．
综上，a的取值范围是（-∞，1]．
（Ⅱ）假设存在，由f′（t）=4t²-2alnt等价于t²-2alnt-2at=0，
令h（t）=t²-2alnt-2at，t＞0，
则h′(t)=2t-2at-2a=2t(t2-at-a)．
（ⅰ）若a=0，则t=0，舍去；
（ⅱ）若a＜0，h（t）=0，即t²-2alnt-2at=0，变形得12at(t-2a)=lnt，
∵函数y=12at(t-2a)，a＜0与y=lnt的图象只有一个交点t₀，
且t₀＞0，所以存在惟一正数t₀，使h（t₀）=0，因此a＜0符合；
（ⅲ）若a＞0，此时必存在使t²-at-a=0的正根t，记这个正根为t₀，
则h′（t）0，解得x＞t₀，
得h（t）在（0，t₀）上单调递减，在（t₀，+∞）上单调递增，
从而h（t）最小值为h（t₀），因为满足f′（t）=4t²-2alnt的实数t有且仅有一个，
所以h（t₀）=0，
由t02-at0-a=0-2alnt0-2at0=0，得at₀+a=2alnt₀+2at₀，即2lnt₀+t₀-1=0，
记u（t₀）=2lnt₀+t₀-1，t₀＞0，
由u′(t0)=2t0+1＞0，知u（t₀）=2lnt₀+t₀-1为增函数，
因为u（1）=2ln1+1-1=0，u（t₀）=0，所以有且仅有惟一正数t₀=1，
代入t02-at0-a=0，得a=12．
综上，这样的实数a存在，且a＜0或a=12．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3+ax2-1，x∈.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点