已知函数f=lnx，g(x)=12x2+a，若直线l与y=f，y=g的图象都相切，且l与y=f图象的切点的横坐标为1求

题文

已知函数f（x）=lnx，g(x)=12x2+a（a为常数），若直线l与y=f（x），y=g（x）的图象都相切，且l与y=f（x）图象的切点的横坐标为1
（Ⅰ）求直线l的方程及a的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x），求y=h（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）当k≥12时，讨论关于x的方程f（x²+1）-g（x）=k的实数解的个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（I）f′(x)|x=1=1x|x=1=1，
∴k₁=1，切点为（1，f（1））=（1，0）
∴l的方程为y=x-1
∵l与g（x）相切，
∴由y=x-1y=12x2+a得12x2+a=x-1，
又△=0，∴a=-12…（4分）
（Ⅱ）h(x)=ln(x+1)-(12x2-12)′=ln(x+1)-x(x＞-1)
∴h′(x)=1x+1-1
令h'（x）＞0，∴1x+1＞1，∴-1＜x＜0
∴增区间为（-1，0]
（Ⅲ）令y1=f(x2+1)-g(x)=ln(x2+1)-12x2+12，y₂=k
∵y′1=2x1+x2-x=-x(x-1)(x+1)1+x2
∴y_1极大=ln2（当x=±1时取得）∴y1极小=12（当x=0时取得） 
∴k∈（ln2，+∞）时，无解；k=ln2时，有两解；k=12时，有三解；12＜k＜ln2时，有四解

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lnx，g(x)=12.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点